Czy wszystkie funkcje kalkulatora naukowego — dodawanie, potęgowanie, logarytmy, sinusy, cosinusy — dałoby się zastąpić jednym działaniem? Dr hab. Andrzej Odrzywołek z Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Jagiellońskiego twierdzi, że tak. Zaproponował operator matematyczny o nazwie EML, który razem z liczbą jeden pozwala odtworzyć cały zestaw funkcji znanych ze szkolnego kalkulatora.

Jeden wzór, wiele funkcji

Operator EML pochodzi od angielskich słów exp-minus-log i ma postać: eml(x, y) = exp(x) – ln(y), gdzie exp oznacza funkcję wykładniczą, a ln logarytm naturalny. Na pierwszy rzut oka wygląda skromnie, ale okazuje się zaskakująco pojemny. Podstawiając w odpowiedni sposób jedynkę i wyniki poprzednich obliczeń, można z niego wyprowadzić kolejno: potęgowanie, pierwiastki, logarytmy, działania arytmetyczne, funkcje trygonometryczne, a nawet stałe matematyczne e i π oraz jednostkę urojoną i. Praca trafiła do otwartego archiwum naukowego arXiv.

Nie jest to pierwszy przypadek, gdy matematycy odkrywają podobną „minimalność”. W elektronice cyfrowej od dawna wiadomo, że całą logikę komputerów można zbudować z jednego rodzaju bramki logicznej — NAND. Bramka ta przyjmuje dwa sygnały i zwraca wynik zero tylko wtedy, gdy oba wejścia są jedynkami. Składając ze sobą wiele takich bramek, inżynierowie uzyskują dowolne układy cyfrowe. Odrzywołek zaproponował analogiczną zasadę dla matematyki ciągłej: jedno działanie jako cegiełka całego kalkulatora.

Drzewa zamiast wzorów

Obliczenia w tym systemie przyjmują postać drzew. Na końcach gałęzi znajdują się liczby lub zmienne, a każdy węzeł wewnętrzny to zastosowanie operatora EML do dwóch niższych wyrażeń. Wzór na logarytm wygląda w tym zapisie skomplikowanie — ln(z) = eml(1, eml(eml(1, z), 1)) — ale mechanizm jest powtarzalny: ten sam operator, za każdym razem z innym zestawem wejść.

Takie drzewa mogą być przydatne w regresji symbolicznej, czyli metodzie, w której komputer automatycznie szuka wzoru matematycznego pasującego do danych pomiarowych. Zamiast przeszukiwać niejednorodny zbiór wyrażeń złożonych z dziesiątek różnych działań, algorytm może operować na jednolitych strukturach zbudowanych z jednego węzła. Odrzywołek przedstawił wstępne eksperymenty, w których drzewa EML trenowane metodami uczenia maszynowego skutecznie odtwarzały proste wzory z danych.

Co z tego wynika

Operator EML nie zmieni sposobu, w jaki obliczamy sinus na kartce papieru czy w arkuszu kalkulacyjnym. Zastąpienie jednej linijki wzoru rozbudowanym drzewem jest niepraktyczne na co dzień. Znaczenie odkrycia leży gdzie indziej: pokazuje, że za pozornie różnymi funkcjami matematycznymi kryje się wspólny, regularny schemat zapisu. To rodzaj ujednolicenia, które może mieć znaczenie dla narzędzi do obliczeń symbolicznych — programów pracujących na wzorach, a nie tylko na liczbach — oraz dla specjalizowanych układów elektronicznych, choć zastosowania sprzętowe wymagają jeszcze dalszych badań.